كتاب ارشد
فهرست مطالب
بخش اول _ آمار توصيفي
فصل اول _ كليات
1 تعريف آمار و اهميت آن ....................................................................................................................................................... 1
2 سنجش و يا انداز هگيري........................................................................................................................................................ 2
3 انواع مقيا سهاي اندازه گيري................................................................................................................................................. 3
4 انواع داد ههاي آماري............................................................................................................................................................. 5
5 علائم آماري .......................................................................................................................................................................... 6
11.......................................................................................................................................................................... ( خودآزمائي ( 1
15.........................................................................................................................................................( پاسخنامه خودآزمائي ( 1
فصل دوم _ تنظيم و جدولبندي داده هاي آماري
1 جدولبندي داده هاي مقياس اسمي و رتبه اي ...................................................................................................................... 17
1 جدولبندي داده هاي يك متغيري ............................................................................................................................ 17 _1
1 جدولبندي داده هاي چندمتغيري........................................................................................................................... 18 _2
2 جدول توزيع فراواني در داد ههاي داراي مقياس نسبي و فاصل ها ي............................................................................... 18
2 تشكيل جدول فراواني............................................................................................................................................ 19 _1
2 توزيع فراواني طبقه بندي شده .............................................................................................................................. 20 _2
2 مراحل ساختن توزيع فراواني طبق ه بندي شده..................................................................................................... 21 _3
24.......................................................................................................................................................................... ( خودآزمائي ( 2
26.........................................................................................................................................................( پاسخنامه خودآزمائي ( 2
فصل سوم _ نمودارهاي فراواني
1 رسم نمودارها در داد ههاي مقياس نسبي و فاصل هاي ..................................................................................................... 27
1 نمودار چند ضلعي ................................................................................................................................................. 27 _1
1 نمودار هيستوگرام (ستوني)................................................................................................................................. 29 _2
1 نمودار فراواني متراكم (تجمعي) يا منحني گالتون .............................................................................................. 30 _3
1 منحني درصد فراواني متراكم (اُجي و) ................................................................................................................... 31 _4
-1-5 نمودار شاخ و برگي....................................................................................................................................................
2 رسم نمودارها در داد ههاي مقياس اسمي و رتب ها ي ........................................................................................................ 33
2 نمودار ميله ا ي......................................................................................................................................................... 33 _1
2 نمودار داير هاي....................................................................................................................................................... 34 _2
36.......................................................................................................................................................................... ( خودآزمائي ( 3
38.........................................................................................................................................................( پاسخنامه خودآزمائي ( 3
فصل چهارم _ اندازه هاي گرايش مركزي
الف) ميانگين ............................................................................................................................................................................... 39
1 ميانگين حسابي ................................................................................................................................................................... 39
1 خواص ميانگين ...................................................................................................................................................... 40 _1
1 محاسبه ميانگين داد هها......................................................................................................................................... 41 _2
44.......................................................................................................................................................... (G) 2 ميانگين هندسي
45............................................................................................................................................................(H) 3 ميانگين همساز
ب) ميانه .................................................................................................................................................................................... 45
1 محاسبه ميانه ...................................................................................................................................................................... 46
2 محاسبه نقاط درصدي ...................................................................................................................................................... 48
3 محاسبه رتبه درصدي ...................................................................................................................................................... 48
ج) نما .......................................................................................................................................................................................... 49
53 .......................................................................................................................................................................... ( خودآزمائي ( 4
56 ........................................................................................................................................................ ( پاسخنامه خودآزمائي ( 4
فصل پنجم _ شاخص هاي پراكندگي
الف) شاخص هاي پراكندگي در مورد داد ههاي مقياس نسبي و فاصل هاي........................................................................... 59
59 .............................................................................................................................................................. (R) 1 دامنه تغييرات
2 دامنه بين صد كها و دامنه بين ده كها...................................................................................................................... ........ 59
61 .................................................................................................................................. (A.D) 3 انحراف متوسط از ميانگين
4 واريانس و انحراف استاندارد............................................................................................................................................ 62
67 ................................................................................................................................................. (CV) 5 ضريب تغييرپذيري
ب) شاخص هاي پراكندگي در مورد داده هاي مقياس اسمي و رتب ها ي................................................................................. 67
ج) محاسبه انحراف استاندارد مركب...................................................................................................................................... 69
د) تركيب نمر هها با يك عدد ثابت و تاثير آن در شاخ صهاي پراكندگي ............................................................................. 69
ه) گشتاورهاي پيرامون ميانگين ............................................................................................................................................ 70
73 .......................................................................................................................................................................... ( خودآزمائي ( 5
75 ........................................................................................................................................................ ( پاسخنامه خودآزمائي ( 5
فصل ششم _ همبستگي و رابطه متغيرها
1 مفهوم و ضريب همبستگي ................................................................................................................................................. 76
2 نمودارهاي پراكنده................................................................................................................................................................. 77
3 روشهاي محاسبه ضريب همبستگي بين متغيرها ............................................................................................................ 80
3 روشهاي محاسبه ضريب همبستگي در داد ههاي مقياس فاصل هاي و نسبي ................................................... 80 _1
3 روشهاي محاسبه همبستگي در داد ههاي مقياس ترتيبي ..................................................................................... 86 _2
86.............................................................................................. (rS) روش اول: محاسبه ضريب همبستگي تفاوت رتب هاي
88 .......................................................................................................... (τ) روش دوم: محاسبه ضريب همبستگي كندال
عوامل موثر بر ضريب همبستگي ................................................................................................................................ ... 88
تفسير ضريب همبستگي .................................................................................................................................................... 89
3 روشهاي محاسبه همبستگي در داد ههاي مقياس طبقه اي (اسمي) .................................................................... 90 _3
4 ساير روشهاي محاسبه ضريب همبستگي........................................................................................................................ 90
90 .............................................................................................................. (rPbis) 4 همبستگي دو رشته اي نقطه اي _1
91 ................................................................................................................. (rbis) 4 ضريب همبستگي دو رشته اي _2
92 ................................................................................................................................................... (Φ) 4 ضريب فاي _3
93 ......................................................................................................................... (rt) 4 ضريب همبستگي تتراكوريك _4
95 .......................................................................................................................................................................... ( خودآزمائي ( 6
98 ........................................................................................................................................................ ( پاسخنامه خودآزمائي ( 6
بخش دوم _ آمار استنباطي
فصل هفتم _ احتمالات
1 تئوري احتمالات و مفهوم احتمال .................................................................................................................................... 103
2 احتمال وقوع يك پيشامد .................................................................................................................................................. 103
3 احتمال پيشامدهاي مركب................................................................................................................................................ 106
3 استفاده از قوانين و قضاياي مربوط به احتمالات............................................................................................. 106 _1
3 استفاده از بسط دو جمل هاي نيوت ن ..................................................................................................................... 108 _2
_ بسط دوجمل هاي نيوت ن ......................................................................................................................................... 110
_ جدول مثلث پاسكال ............................................................................................................................................. 113
4 استفاده از سطح زيرمنحني نرمال .................................................................................................................................. 113
118........................................................................................................................................................................ ( خودآزمائي ( 7
122.......................................................................................................................................................( پاسخنامه خودآزمائي ( 7
فصل هشتم _ توزيع و منحني طبيعي
مفهوم زيرمنحني طبيعي ......................................................................................................................................................... 125
سطح زيرمنحني طبيعي ........................................................................................................................................................... 125
نمره هاي تراز شده و سطح زيرمنحني طبيعي ...................................................................................................................... 126
134........................................................................................................................................................................ ( خودآزمائي ( 8
137.......................................................................................................................................................( پاسخنامه خودآزمائي ( 8
فصل نهم _ استنباط آماري
1 مفهوم استنباط آماري...................................................................................................................................................... 139
2 خصوصيات برآوردكنند هها.............................................................................................................................. 140
3 طرح كلي برآورد پارامتر .................................................................................................................................. 141
4 توزيع نمونه بردار ي .......................................................................................................................................... 141
5 خصوصيات ميانگين نمون ههاي منتخب از يك جامعه (فضيه حد مركزي) .......................................................... 142
6 خطاي استاندارد شاخ صهاي آماري................................................................................................................. 145
7 برآورد فاصله اي _ آزمون فرضيه .................................................................................................................... 148
8 منطق آزمودن فرضي هها ................................................................................................................................... 149
9 نتايج آزمون فرضيه ......................................................................................................................................... 151
10 _ كارآئي آزمون آماري..................................................................................................................................... 153
11 _ برآورد حجم (اندازه) گروه نمونه.................................................................................................................... 153
الف) برآورد حجم نمونه براي مطالعه متغيرهاي كمي ............................................................................................. 154
ب) برآورد حجم نمونه در مورد داد ههاي متغير اسمي يا طبق ه اي............................................................................ 156
157 ...................................................................................................................................................( خودآزمائي ( 9
159.......................................................................................................................................................( پاسخنامه خودآزمائي ( 9
فصل دهم _ آزمون هاي آماري (پارامتري)
1 آزمو ن آماري و انواع آن ................................................................................................................................................. 161
2 آزمو نهاي پارامتريك و پي شفرض هاي مربوط به آن .................................................................................................. 161
3 انواع آزمو نهاي پارامتر ي............................................................................................................................................... 162
3 آزمون ميانگين تك گروهي ................................................................................................................................. 162 _1
3 آزمون معني دار بودن تفاوت بين ميانگين دو گروه.......................................................................................... 167 _2
3 آزمون تفاوت ميانگين دو گروه مستقل در گرو ههاي بزرگ........................................................................... 168 _3
169......................................................... (N< 3 آزمون تفاوت ميانگين دو گروه مستقل در گرو ههاي كوچك ( 30 _4
3 آزمون تفاوت واريانس دو گروه مستقل............................................................................................................ 170 _5
براي دو گروه مستقل با واريان س هاي نابرابر ................................................................................... 172 t 3 آزمون _6
براي گروه نمونه وابسته ...................................................................................................................... 173 t 3 آزمون _7
3 آزمون تفاوت واريانس دو گروه همبسته .......................................................................................................... 176 _8
3 آزمون معن يدار بودن تفاوت ميانگين بيش از دو گروه مستقل (تحليل واريانس يك طرفه )........................ 176 _9
3 تحليل واريانس يك راهه وابسته ...................................................................................................................... 182 _10
3 مقايسه هاي پس از تجربه ................................................................................................................................. 184 _11
3 تحليل واريانس عاملي ....................................................................................................................................... 188 _12
3 آزمون معني دار بودن ضريب همبستگي ......................................................................................................... 192 _13
196..................................................................................................................................................................... ( خودآزمائي ( 10
203....................................................................................................................................................( پاسخنامه خودآزمائي ( 10
فصل يازدهم _ آزمو نهاي آماري ناپارامتري
208........................................................................................................chi-square - test χ 1 آزمون مجذور خي (كاي) 2
(S )
1 آزمون تك متغيري مجذ ور كاي ......................................................................................................................... 208 _1
1 آزمون مجذور خي در طبقه بندي هاي دو طرفي................................................................................................ 211 _2
2 آزمون تفاوت نسب تها و درصدها.................................................................................................................................. 215
2 آزمون معن يدار بودن تفاوت بين دو نسبت مستقل.......................................................................................... 215 _1
2 آزمون معن يدار بودن تفاوت بين دو نسبت همبسته........................................................................................ 217 _2
3 مقايسه گروههاي مستقل در متغير رتبه اي ...................................................................................................................... 218
مان _ وتيني ....................................................................................................................................... 218 U 3 آزمون _1
3 آزمون ميانه ......................................................................................................................................................... 221 _2
4 مقايسه بيش از دو گروه مستقل در يك متغير رتب ه اي (تحليل واريانس رتب ه اي كروسكال واليس ) .......................... 222
-5 مقايسه بيش از دو گروه از آزمونهاي يكسان و ياهمتا شده (تحليل وايانس فريدمن) در يك متغير رتب ه اي ......... 225
6 استنباط آماري در مسائل مربوط به دو مجموعه از انداز ههاي وابسته طبقه ا ي ......................................................... 226
7 استنباط آماري براي مسائل مربوط به دو مجموعه از انداز ههاي وابسته رتبه اي ...................................................... 228
228.............................................................................................................. (T) آزمون رتبه هاي علامت دار ويلكاكسون
8 آزمون تك متغيري كالموگروف اسميرنف ..................................................................................................................... 230
9 ضريب هماهنگي (تطابق) كندال ....................................................................................................................................... 231
234.................................................................................................................................................................... ( خودآزمائي ( 11
240....................................................................................................................................................( پاسخنامه خودآزمائي ( 11
فصل دوازدهم _ رگرسيون و پيش بيني
1 مفهوم رگرسيون............................................................................................................................................................... 245
225................................................................................................................................... (Z) 2 پيش بيني نمر ههاي تراز شده
3 رگرسيون به طرفه ميانگين.............................................................................................................................................. 225
4 خط رگرسيون و معادله آن............................................................................................................................................. 226
250.............................................................................................................................. Eest 5 خطاي استاندارد برآورد
6 رگرسيون چند متغيره ...................................................................................................................................................... 251
254..................................................................................................................................................................... ( خودآزمائي ( 12
256....................................................................................................................................................( پاسخنامه خودآزمائي ( 12
259.......................................................................................... « آمار توصيفي » سوال هاي چند گزين هاي مربوط به بخش اول
286................................................................................................... « آمار توصيفي » كليد و پاسخ سوال هاي بخش اول
305........................................................................................ « آمار استنباطي » سوال هاي چند گزين هاي مربوط به بخش دوم
344................................................................................................. « آمار استنباطي » كليد و پاسخ سوال هاي بخش دوم
366............................................................................................................................................ تست هاي سراسري سال 1388
جداول ضميمه ........................................................................................................................................................................ 373
خذ ........................................................................................................................................................ 408 Ĥ منابع و م
فصل اول
كليات
1 تعريف آمار و اهميت آن
واژه آمار در لغت به معني شمردن و حساب كردن است ولي علم آمار فعاليتي گسترد ه تر از شمارش و
ارائه حقايق به صورت اعداد و ارقام است . علم آمار به مجموعه اي از فنون و روشهاي علمي _ رياضي
گفته مي شود كه براي جمع آوري، ت نظيم، ارائه، و تحليل و تفسير اطلاعات كمي و كيفي و نتيج ه گيري از آنها
در جهت هدفي معين به كار مي رود. 1
علم آمار و روشهاي آن قسمتي از رو ش هاي تحقيق علوم را تشكيل مي دهد و اهل تحقيق در همه رشت ه ها
بدان نيازمندند . اما ضرورت آمار صرفاً به كار تحقيقي محدود نم ي شود. روشهاي آماري داراي دو وظيفه
هستند:
1: روش هاي آماري در طبقه بندي، خلاصه كردن، توصيف و تفسير اطلاعات جمع آوري شده و برقراري _1
ارتباط از طريق آنها، به پژوهشگر كمك مي كنند. روش هاي آماري كه براي اين وظيفه بكار مي روند آمار
توصيفي 2 ناميده مي شوند. روشهاي آمار توصيفي هميشه براي تعيين و بيان ويژگ ي ها و اطلاعاتي كه به
وسيله پژوهشگران از يك گروه نمونه آماري جمع آوري شده اند بكار برده م يشوند.
1: به پژوهشگران امكان مي دهند كه با استفاده از اطلاعات جمع آوري شده از نمونه كوچكي از _2
آزمودني ها، ويژگيهاي جامعه اي ر ا كه نمونه از آن انتخاب شده است برآورد يا استنباط كن ن د. روشهاي
آماري مربوط به اين وظيفه را آمار استنباطي 3 مي نامند. در آمار استنباطي هدف پژوهشگر عبارت از تعميم
اصول و يافته ها به نحوي است كه قادر باشد حوادث را تبيين و پيش بيني كند، بنابراين از آمار استبناط ي
مي توان از طريق يافته هاي حاصل از گرو ه هاي كوچك دربارة گرو ه هاي بزرگ به استنباط پرداخت .
صرفنظر از ارزش آموزشي آمار، مي توان مهمترين موارد اهميت آن را به ترتيب زير بيان كرد:
الف) جمع آوري و ارزشيابي اطلاعات و تعميم و كاربرد علمي و فوري آنها در جهت ايجاد س هولت و
كارآئي در فعاليتهاي روزمره
ب) كشف و جم عآوري اطلاعات براي حل مسائل عملي و تجزيه و تحليل اطلاعات موجود.
-1 روشهاي آماري در علوم رفتاري، شريفي و نجفي زند
2- descriptive Statistics
3- Inferential Statistics
فصل دوم
تنظيم و جدول بندي داده هاي آماري
پس از گردآوري داده هاي آماري لازم است كه طوري تنظيم و سازماندهي شوند كه بهتر بتوان اطلاعات
مورد نياز را به روشني و به دقت از آنها استخراج كرد . براي اين منظور نخست بايد داده ها به صورت
جدول هاي آماري تنظيم شوند . نحوة تنظيم و جدول بندي داده ها را با توجه به نوع مقياس اندازه گيري آنها
در دو بخش توضيح مي دهيم.
1 جدول بندي داده هاي مقياس اسمي و رتب هاي
جداول مربوط به اين بخش ممكن است مربوط به داده هاي يك متغيري و يا چند متغيري باشند.
1 جدول بندي داده هاي يك متغيري: _1
مراد از داده هاي اسمي يك متغيري اين است كه فقط يك صفت يا متغير در مورد افراد نمونه آماري مورد
مشاهده قرار گرفته و موارد تكرار يا فراواني آن يادداشت مي شود. در مورد داده هاي مقياس رتبه اي نيز
رتبه ها را همراه با توصيف آنها (در صورت لزوم ) به ترتيب نزولي و يا صعودي مي نويسيم و پس از
(2_ استخراج فراواني هر رتبه، نسبت و يا درصد مربوط به آن را محاسبه و ثبت مي كنيم . در جدول ( 1
توزيع فراواني يك گروه نمونه 100 نفري از دانشجويان براساس رشته تحصيلي (مقياس اسمي ) و در
2) توزيع فراواني يك گروه نمونه 80 نفري از د انشجويان برحسب ميزان تمايل به ازدواج _ جدول ( 2
براي هر يك محاسبه گرديده است. (P%) و درصدي (P) (مقياس رتبه اي) نشان داده شده و فراواني نسبي
(2_ 2) جدول ( 1 _ جدول ( 2
فراواني درصدي
P%
فراواني نسبي
P
ميزان تمايل به F فراواني
ازدواج
فراواني
P% درصدي
رشته F فراواني P فراواني نسبي
تحصيلي
45 مشاوره 0/45 20 بسيار زياد 45 0/25 25
35 روانشناسي 0/35 30 زياد 35 0/38 37/5
20 علوم اجتماعي 0/20 15 تاحدودي 20 0/19 19
Σ N=100 ΣP=1 ΣP%= 10 كم 100 0/12 12/5
5 بسيار كم 0/06 6
Σ 80 ΣP=1 ΣP%=100
فصل سوم
نمودارهاي فراواني 1
رابطه بين نمره ها و فراوانيها نخستين نتيجه اي است كه از تنظيم و بررسي داده هاي آزمايشي به دست
مي آيد اين رابطه را بصورت كلي و كيفي از جدول فراواني و بصورت دقيق و كمي از راه محاسبه مي توان
مشخص كرد.
بررسي كلي توزيع فراواني را روشن تر از آنچه در جدول فراواني گفتيم با تشكيل نمودارهاي فراواني
مي توان انجام داد. نمودار فراواني نمايش هندسي جدول فراواني است.
نمودار ابزاري تصويري است كه براي توصيف و نمايش داده هاي جمع آوري شده بكار برده مي شود. پس
از سازمان بندي كردن داده ها در جدول توزيع فراواني، نمايش آنها به وسيله نمودار به پژوهشگر كمك
مي كند تا ويژگيهاي داده ها را بهتر و آسا نتر توصيف كند و آنها را با توزي عهاي ديگر مقايسه كند.
رسم نمودارها و منحن يها 2
در اين قسمت روش ترسيم نمودارها در دو بخش توضيح داده مي شود.
1 رسم نمودارها در داده هاي مقياس نسبي و فاصل هاي:
براي رسم نمودارهاي فراواني كه نمايش هندسي جدول فراواني مي باشند از محور مختصات استفاده
مي كنيم و مقياس نمره ها را در طول و فراوانيها را در عرض محور نشان مي دهيم. در اين بخش به توضيح
روش ترسيم و استفاده از نمودارهاي چند ضلعي 3، هيستوگرام (ستوني ) 4، فراواني متراكم (تجمعي ) 5 و
اُجيو 6 يا منحني درصد فراواني متراكم 7 كه در مورد داده هاي مقياس نسبي و فاصله اي بكار برده م يشوند
مي پردازيم.
1 نمودار چند ضلعي: (چند كنج فراواني) _1
همانطوري كه قبلاً اشاره شد زماني كه داده ها داراي مقياس فا صله اي و كميت ها پيوسته هستند از اين
را برحسب (XX') نمودار استفاده مي شود. ابتدا محورهاي مختصات را رسم مي كنيم و سپس محور افقي
1- Frequency diagram
2- Curves
3- Polygon
4- Histogram
5- Cumulative frequency graph
6- Ogive
7- Cumulative percentage curve
فصل چهارم
اندازه هاي گرايش مركزي
براي آن دسته از داده ها به كار مي رود « شاخص آماري » يا « آماره » همانطوري كه قبلاً اشاره شد اصطلاح
كه در مورد يك گروه نمونه به دست آمده است . اين شاخصها نشان مي دهند كه موارد مطالعه شده به
طور كلي چگونه اند و به طور متوسط چ ه وضعي دارند . اين شاخص ها در معناي متوسط تحت عنوان
اندازه هاي گرايش مركزي مطرح مي شوند و عبارتند از:
الف) ميانگين
ب) ميانه
ج) نمايامد
هر يك از اين شاخصها به نوعي معرف مقدار متوسط يا اندازه گرايش مركزي داده ها تلقي م يشوند و ذيلاً
مورد بحث قرار م يگيرند.
: الف) ميانگين 1
اين شاخص كه براي بيان و توصيف داده هاي كمي بيش از ساير اندازه ها به كار مي رود به سه صورت
مطرح مي شود
1 ميانگين حسابي 2
2 ميانگين هندسي 3
3 ميانگين همساز 4
اينك به توضيح هر يك از آنها مي پردازيم:
1 ميانگين حسابي:
نشان مي دهند ميانگين از طريق M يا X ميانگين حسابي را براي سهولت ت نها ميانگين مي نامند و با
محاسبه خارج قسمت مجموع نمره ها بر تعداد آنها به دست مي آيد.
(4_1) n
X
X Σ =
1- Mean
2- Arithmetic Mean
3- Geometric Mean
4- Harmonic Mean
فصل پنجم
شاخص هاي پراكندگي 1
در فصل 4 موارد استفاده از شاخصهاي مركزي كه براي تعيين مقدار متوسط توزيع نمره ها به كار برده
مي شود مورد بحث قرار گرفت، اما براي توصيف كامل تر خصوصيات آماري نمره ها بايد به نحوة
پراكندگي داده ها حول ميانگين يا ميانه نيز توجه كرد. پراكندگي يكي از ويژگيهاي عمومي توزيع نمره ها
است كه پژوهشگران در صدد مطالعه آنها هستند . به عنوان مثال ميانگين نمره ها در سه گروه 5 نفري ذيل
برابرند اما نم يتوان گفت كه شاگردان سه گروه بطور كلي همقوه اند.
12-11-10-9- گروه اول: 8
17-15-7-6- گروه دوم: 5
20-19-6-4- گروه سوم: 1
گروه اول شامل شاگردان متوسط، گروه دوم شامل شاگردان ضعيف و قوي و گروم سوم از شاگردان
بسيار قوي و بسيار ضعيف تشكيل شده است . فرقي كه بين اين گروه ها وجود دارد و ميانگين آنرا نشان
نمي دهد چگونگي توزيع نمره ها در اطراف مقدار متوسط است . اين خ صوصيت را در آمار پراكندگي 2
5 دو منحني فراواني نشان مي دهد كه ميانگين هر دو 10 است اما پراكندگي آن ها با هم _ مي نامند. شكل 1
از 5 تا 15 است) B پراكندگي از صفرتا 20 و در منحني A اختلاف فاحش دارند (در منحني
5_ شكل 1
1- Variability
2- Dispression
فصل ششم
همبستگي
1 مفهوم همبستگي 1
در فصلهاي پيشين، توصيف يك متغير مورد توجه قرار گرفت . اما در پژوهش موقعيت هاي فراواني يافت
مي شود كه در آنها دو يا چند متغير وجود دارد و منظور از بررسي متغيرها مشخص كردن روابط موجود
بين اين متغيرهاست . بين برخي از متغيره ا رابطه مستقيم وجود دارد . هنگامي كه افزايش در يك متغير با
افزايش در متغير ديگر، يا كاهش يك متغير يا كاهش متغير ديگر همراه باشد همبستگي بين آنها مستقيم و
مثبت است (مثلاً همبستگي بين هوش و پيشرفت تحصيلي دانش آموزان). چنانچه افزايش در يك متغير با
كاهش در متغي ر ديگر همراه باشد همبستگي بين دو متغير منفي و معكوس است (مثلاً همبستگي بين سن و
قدرت حافظه افراد بزرگسال)
ضريب همبستگي 2
اندازه همبستگي بين متغيرها ضريب همبستگي ناميده مي شود. ضريب همبستگي براي اولين بار توسط
فرانسيس گالتون به شكل نمودار پديد آمد و سپس كارل پيرسون روش محاسبه آن را پيدا كرد . ضريب
همبستگي يك عدد جبري است كه علامت آن جهت همبستگي و قدرمطلق آن ميزان همبستگي را نشان
−1 ) . اين ضريب ≤ Rxy ≤ + مي دهد. مقدار ضريب همبستگي از 1- تا صفر و از صفر تا 1+ است ( 1
چنانچه 1+ يا نزديك به آن باشد همبستگي كا مل مثبت يا رابطه خيلي زياد مستقيم را مي رساند و چنانچه
-1 يا نزديك به آن باشد همبستگي كامل منفي يا خيلي زياد معكوس را معرفي مي كند اگر ضريب همبستگي
صفر و يا نزديك به آن با شد نبودن رابطه بين دو متغير را معلوم مي كند (مثلاً بين قد و اجتماعي بودن
ضريب همبستگي در حدود صفر است زيرا بلندي يا كوتاهي قد تاثيري در اجتماعي بودن ندارد).
وجود همبستگي بين متغيرها به آن معني نيست كه يك متغير علت متغير ديگر است . در آمار همبستگي به
رابطه بين دو يا چند متغير كه قابل تبديل به مقدار هستند اطلاق مي شود و معني آن اين است كه م ي توان با
را پيش بيني كرد . همبستگي رابطه بين دو متغير را در يك جامعه توصيف Y مقدار X معلوم بودن متغير
مي كند. مي توان از همبستگي براي تعيين رابطه دو متغير در گروهي از افراد و همچنين براي دو گروه
1- Correlation
2- Correlation Coefficient
فصل هفتم
احتمالات
1 تئوري احتمالات و مفهوم احتمال
مقادير آماري كه از يك گروه نمونه بدست مي آيند شاخصهاي توصيفي بشمار مي روند . به وسيله اين
شاخصها، داده هاي تجربي را بطور خلاصه بيان مي كنيم. به عنوان مثال ميزان تصادف يك پديده را كه
چند بار تجربه كرده ايم با يك شاخص مقدار متوسط (ميانگين، ميانه و يا نما ) نشان مي دهيم و يا
پراكندگي هائي را كه در اين پديده مشاهده كرده ايم با يك شاخص تغييرپذيري (دامنه تغيير، دامنه دهكها و
صدكها، انحراف متوسط از ميانگين و يا واريانس و انحراف استاندارد ) اندازه گيري مي كنيم و بالاخره
رابطه اين پديده را با يك پديده وابسته ديگر به وسيله ضريب همبستگي بيان مي كنيم.
از آنجا كه اين بررسي هاي توصيفي اصولاً محدود به مواردي است كه در آنها تجربه و آزمايش بعمل
آمده است، بنابراين نتيجه آنها از كليت و اعتبار يك قاعده علمي برخوردار نيست . فايده علمي شاخصهاي
توصيفي بستگي به اين دارد كه تا چه ميزان بتوان از آنها براي بيان قواعد و روابط كلي استفاده كرد.
در آمار استنباطي پس از توصيف نتايج عيني آزمايش بايد به تحليل آن پرداخت . هدف از اين تحليل در
اصل آن است كه احتمال درست بودن محتواي شاخصهاي توصيفي معين شود . به بيان ديگر هدف هر
تحليل آماري آن است كه به نتايج يك تحقيق مشخص و محدود عموميت داده و وسيله پيشگوئي علمي در
موارد مشابه قرار گيرد . بايد بدانيم كه اطلاعاتي را كه از يك گروه نمونه بدست م ي آيد فقط با احتمال
معيني مي توان پذيرفت . بهمين سبب پايه و اس اس آمار استنباطي بر اصول احتمالات نهاده شده است . با
توجه به اين نكته، آشنائي با برخي از قوانين مقدماتي احتمالات و اصول و مفاهيم آن به ويژه براي درك
بهتر مدلهاي آماري (مانند توزيع دوجمله اي و نرمال) ضرورت دارد.
تئوري احتمالات
از آنجا كه نمي توانيم همه شرايط ي را كه پاره اي از پيشامدها به آن بستگي دارد تشخ يص دهيم، علت وقوع
اين پيشامدها و يا عدم وقوع آنها را نمي توانيم با دقت پيش بيني كنيم. به پيشامدهائي كه علت آنها بر ما
گفته مي شود. اگر بتوانيم پيشام دها را با « تصادفي » ، معلوم نيست و پي آمد آنها را نمي توان پيش بيني كرد
استفاده از قانون توجيه كنيم ديگر تصادفي نخواهند بود . بنابراين شانس و يا تصادف برحسب تعريف به
ظاهر عدم حضور قانون را مي رساند. مع الوصف بايد دانست كه پيشامدهاي تصادفي با وجود غيرقابل
پيش بيني بودن از قوانين معيني پيروي مي كنند كه در تئوري احتمالات مورد بررسي قرار مي گيرند .
فصل هشتم
توزيع و منحني طبيعي
1 مفهوم منحني طبيعي
در فصل مربوط به احتمالات وقتي كه دربارة روش تقريب منحني نرمال بحث شد اشاره مختصري به
منحني نرمال و رابطه سطح زير منحني با ميانگين و انحراف استاندارد توزيع بعمل آمد با توجه به اهميت
موضوع در اين فصل نيز بطور مبسوط به بررسي و مطالعه آن مي پردازيم.
در توزيع بهنجار بيشتر داده ها حول مركز (ميانگين) توزيع انباشته شده و هر چه به طرفين پيش رويم
بتدريج از تراكم كاسته مي شود، بهمين جهت شكل منحني توزيع، طبيعي و زنگوله اي است و اندازه ميانگين،
ميانه و نما يكسانند . اين منحني در هر دو سطح نامحدود است يعني هر اندازه كه امتداد يابد هرگز محور
ها را قطع نمي كند. مساحت زير منحني (مجموع نسبتها ) مساوي با يك است . طول منحني از ∞- تا ∞+ و X
0 است. / عرض آن در نقطه ميانگين برابر 3989
2 سطح زيرمنحني طبيعي:
تعداد كل حوادث است كه 50 درصد آن در بالا و 50 درصد ديگر N سطح كل زير منحني نرمال برا بر با
تهيه شده است σ= و 1 N= در پائين ميانگين قرار مي گيرد. با توجه به آنكه جدولهاي منحني نرمال براي 1
هاي مختلف است استفاده كنيم لازم σ و N اگر بخواهيم از اين جدولها براي پاسخ به مسائلي كه شامل
را استاندارد محاسبه كنيم . همانطوريكه قبلاً اشاره شد نمره استاندارد از σ و N است ك ه مقادير مختلف
طريق فرمول
x Sx
x
S
Z X X =
−
= قابل محاسبه است (اين فرمول را در مورد داده هاي منحني نرمال
σ بصورت
−μ
مي توان نوشت) Z = X
يكي از خواص عمده منحني نرمال رابطه واحد انحراف استاندارد توزيع و سطح زير منحني است بدين معني
كه سطح زير منحني با واحدهاي انحراف استاندارد به نسبتهاي ثابت و مشخصي به شرح زير تقسيم م يشود:
0) موارد يا افراد بين ميانگين و يك انحراف / 34 درصد ( 3413 / الف _ در يك توزيع نرمال حدود 13
استاندارد بالا (و يا پائين) ميانگين قرار مي گيرند.
(μ → ±1σ)=34/13 %
(-1σ → +1σ)=68/26 %
⎠⎟ درصد 68 بنابراين حدود
⎞
⎜⎝
⎛
3
2
موارد يا افراد در يك توزيع نرمال بين يك انحراف استاندارد زير تا يك
انحراف استاندارد بالاي ميانگين قرار دارند و به آنها افراد متوسط اطلاق مي شود.
فصل نهم
استنباط آماري
1 مفهوم استنباط آماري
مردم در جريان فعاليت هاي روزمره معمولا براساس آگاهي هاي محدود در مورد خود، ديگران و جه ان
اطراف به داوري و ارزشيابي م ي پردازند، هر چند كه ظاهرا برخورد و رفتار آنان حاكي از واقعي بودن
اطلاعات در مورد جامعه مور د نظر است ولي از نظر عيني و دقيق بودن، اطلاعات مورد نظر ممكن است
مبين خصوصيات اصلي جامعه بوده و بنابراين معتبر باشند و يا فاقد ويژگيهاي جامعه اصلي بوده و
درنتيجه فاقد اعتبار تلقي شوند . آماردانان و محققان علوم رفتاري بمنظور استنباط صحيح و معتبر
خصوصيات جامع ه موردنظر، سعي مي كنند نمونه مورد مطالعه هر چه بيشتر معرف جامعه تعريف شده
باشد. به همين جهت آنان در پژوهش هاي خود از مدلهاي استنباط آماري خاصي تبعيت مي كنند.
در مدل استنباط آماري چنين فرض مي شود كه مي خواهيم در مورد يك مجموعه خيلي وسيع كسب
اطلاعات كنيم (مثلا نمره پيشرفت تحصيلي درس علوم تجربي دانش آموزان كلاس سوم راهنمائي در
سراسر كشور ). به اين مجموعه خيلي بزرگ جمعيت يا جامعه گفته مي شود . گاهي حجم جامعه آن قدر
بزرگ و وسيع است كه امكان مطالعه تمام آن وجود ندارد به همين جهت از اين كل، يك زير مجموعه
بعنوان نمون ه انتخاب م ي شود. اين زير مجموعه را كه شامل تعداد محدودي از اعضاء جامعه مورد نظر
است گروه نمونه آماري مي نامند.
بمنظور استنباط خصوصيات جامعه براساس خصوصيات نمونه، مدل آماري ايجاب مي كند كه افراد گروه
نمونه بصورت تصادفي انتخاب شوند . روش نمونه گيري وقتي تصادف ي است كه همه افراد جامعه به يك
اندازه، شانس انتخاب شدن و شركت در گروه نمونه آماري را داشته باشند . بعلاوه انتخاب هر فرد مستقل
از افراد ديگر صورت گيرد . محقق با فرض انتخاب تصادفي آزمودنيها يك موقعيت مناسب براي تعميم
يافته هاي حاصل از مطالعه نمونه را به دست مي آورد.
براي استنباط در مورد يك جامعه بايد خصوصيات مربوط به آن (مقادير متوسط و يا پراكندگي ) با
استفاده از خصوصيات گروه نمونه توصيف شود . در آمار به مقاديري كه خصوصيات جامعه را توصيف
مي كند پارامتر گويند بنابراين به اندازه ميانگين، واريانس، انحراف معيار و ... جامعه پارامتر اطلاق مي شود
و متقابلا به مقاديري كه خصوصيات گروه نمونه را بيان مي كنند (نظير ميانگين، واريانس و انحراف معيار )
شاخص آماري و يا آماره گفته مي شود. بمنظور تميز بين مفهوم پارامتر و شاخصهاي آماري معمولا
فصل دهم
آزمون هاي آماري پارامتريك
1 آزمون هاي آماري و انواع آنها
از ميان همه دانشجويان دانشگاههاي n= هرگاه تعداد زيادي از پژوهشگران نمونه هائي با حجم مثلا 50
ايران انتخاب و قد را آنها اندازه گيري كنند ميانگين قد نمونه هاي منتخب با هم مساوي نخواهند بود. ميانگين
قد بعضي از نمونه ها نسبتاً زياد و برخي ديگر نسبتاً كم است اما ميانگين بيشتر نمونه ها حول ميانگين
جامعه انباشته خواهد شد . اين تغييرپذيري در ميانگين ها از خطاي نمونه گيري ناشي مي شود كه صرفاً
بيانگر تغييرپذيري تصادفي است كه بطور اجتناب ناپذيري در م حاسبه ميانگين بعضي از نمونه ها تاثير
مي گذارد. بهمين جهت پذيرفتن اين فرض كه ميانگين هر يك از نمونه ها احتمالاً با ميانگين جامعه تفاوت
دارد منطقي خواهد بو د. از آنجا كه استنباط آمارشناسان از جامعه تنها بر خصائص يك نمونه استوار
است بنابراين تغييرپذيري ميانگين نمونه ها ظاهراً به صورت يك مشكل جدي به نظر مي رسد . اما چون
ماهيت آنها مشخص است برآورد تغييرپذيري ميانگين نمونه ها براساس احتمالات از طريق اجراي
آزمون هاي آماري امكان پذير خواهد بود.
آزمون هاي آماري روش هائي هستند كه بمنظور بررسي ميزان دقت و اعتبار داد ه هاي آماري و يا به بيان
ديگر تعيين ميزان تاثير خطاي نمونه گيري در برآورد پارامتر جامعه براساس شاخص هاي آماري نمونه
بكار مي روند و بطور كلي بر دو گونه اند : پارامتر يك و ناپارامتر يك . در اين فصل به توضيح انواع
آزمونهاي پارامتر يك و موارد كاربردي آنها مي پردازيم.
2 آزمون هاي پارامتريك و پيش فرضهاي مربوط به آن
آزمون هاي پارامتري را مي توان موثرترين آزمون ها دانست كه در غالب موارد در تعميم نتايج حاصل از
گروه نمونه به جامعه آماري مورد استفاده قرار مي گيرند. مشروط بر اينكه پيش فرض هاي زير در مورد
آنها رعايت شود:
1 هر يك از موارد مشاهده شده مستقل است . يعني انتخاب يك مورد به انتخاب هيچ مورد ديگري وابسته
نيست.
2 واريانس نمونه ها برابر يا تقريباً برابر است . رعايت اين نكته در نمونه هاي با حجم كم اهميت بيشتري
دارد.
3 توصيف متغيرها براساس مقياس هاي نسبي و يا فاصله اي انجام مي گيرد.
فصل يازدهم
آزمون هاي ناپارامتريك
تحت عنوان آزمون هاي پارامتري مورد بحث قرار گرفتند و ديديم كه اين F و t ، Z قبلاً آزمون هاي
آزمون ها بر طبيعي بودن توزيع متغير در جامعه مبتني هستند و بعلاوه داده هاي مربوط به آنها از نوع
پيوسته و منظم بوده و به عبارت ديگر داراي مقياس اندازه گيري نسبي و يا فاصل هاي م يباشند.
گاهي در پژوهش ها داده هائي جمع آوري مي شوند كه داراي مقياس اسمي يا رتبه اي هستند و يا ممكن است
داده ها داراي مقياس فاصله اي باشند ولي توزيع داده ها در جامعه طبيعي نيست در چنين مواردي
پژوهشگر ملزم به اس تفاده از آزمونهاي غير پارامتريك است . اين آزمونها در كليه مواردي كه پژوهشگر
نمي تواند از آزمونهاي پارامتريك استفاده كند ابزار مناسبي براي آزمون فرضيه ها هستند بطور كلي
مي توان گفت كه اين آزمونها در مورد داده هائي به كار مي روند كه:
1 مقياس اندازه گيري آنها اسمي و يا رتبه اي باشد (از نوع داده هاي ناپيوسته و يا منفصل و بنابراين
حاصل شمارش هستند).
2 بر نرمال بودن توزيع در جامعه استوار نيستند.
مهمترين آزمون هاي ناپارامتري عبارتند از:
χ 1 آزمون مجذور كاي (مجذور خي) 2
2 آزمون نسبت ها و درصدها
3 آزمون ميانه
مان وتيني U 4 آزمون
5 آزمون نشانه
6 آزمون رتبه هاي علامت دار ويل كاكسون
(H) 7 آزمون كروسكال واليس
8 آزمون كالموگروف اسميرنف
اينك به توضيح هر يك از اين آزمون ها مي پردازيم:
فصل دوازدهم
رگرسيون و پيش بيني
1 مفهوم رگرسيون
با استفاده از Y رابطه وجود داشته باشد، مي توان نمره فردي را در متغير Y و X هرگاه بين دو متغير
با ميزان موفقيت (X) برآورد يا پيش بيني كرد. به عنوان مثال چنانچه هوش يك دانش آموز X متغير
همبستگ ي مثبت داشته باشد، مي توان پيش بيني كرد كه دانشجوئي كه نمره هوشي او از (Y) تحصيلي او
حد متوسط بالاتر است در دوره تحصيل نيز موفقيت تحصيلي و پيشرفت درسي او از ميانگين بالاتر
خواهد بود . در اين مثال از نمره هوشي به عنوان يك متغير پيش بيني كننده براي برآورد ميزان موفقيت
تحصيلي استفاده شده است . هر چه شدت همبستگي دو متغير بيشتر باشد، دقت پيش بيني نيز افزايش پيدا
مي كند. اگر همبستگي دو متغير كامل ( 1 ±) باشد در آن صورت پيش بيني كامل و دقيق امكا ن پذير خواهد
بود.
: (Z) 2 پيش بيني نمر ههاي تراز شده
روش پيش بيني كردن نمره هاي تراز ش ده ابتدائي ترين روشي است كه با استفاده از ضريب همبستگي
و متغيري را (Y) پيرسون براي پيش بيني به كار برده م ي شود. متغيري را كه مي خواهيم پيش بيني كنيم با
نشان مي دهيم . در اين روش بين متغيرها و ضريب (X) كه پيش بيني از طريق آن صورت مي گيرد با
12 ) برقرار است. _ همبستگي آنها رابطه ( 1
ZY = (ZX) (rXY) (12_1)
0 و نمره تراز شده / برابر 50 (Y) و آمار (X) مثال: اگر ضريب همبستگي بين نمرات درس رياضي
باشد نمره تراز شده آمار او برابر است با: ZX = +1/ رياضي دانش آموزي 60
ZY = 1/ 60 ×0/ 50 = +0/ 80
را. X را پيش بيني كرد و هم نمره تراز شده Y تبصره: از فرمول مذكور مي توان هم نمره تراز شده
3 رگرسيون به طرف ميانگين
اگر بين متغيرها همبستگي كامل نباشد، پيش بيني دقيق امكان پذير نخواهد بود، زيرا در چنين شرايطي
نمره هاي پيش بيني شده به طرف ميانگين نمره گرايش پيدا مي كنن د. اين پديده تاثير رگرسيون ناميده
مي شود و چون غالباً رگرسيون به طرف ميانگين دومين متغير است آنرا رگرسيون در اطراف ميانگين
آمار توصيفي و استنباطي 366
-1 پديده رگرسيون تحت كدا ميك از حال تهاي زير، به طور كامل اتفاق م يافتد؟
r = +1 (4 r = 0/ 50 (3 r = (2 r = −1 (1
-2 در يك توزيع غيرنرمال، براي محاسبه ميزان پراكندگي، كدام شاخص مناسب تر است؟
1) واريانس 2) تفاضل چارك ها 3) انحراف چاركي 4) انحراف استاندارد
-3 چنانچه در يك نمونه 25 نفري، مقدار ميانگين نمونه از پارامتر بيشتر و فرضيه صفر رد شده
باشد، كدام رابطه درست است؟
tob ≥ tα (4 Zob > tα (3 Zob ≥ Zα (2 Zob > Zα (1
-4 اگر دو متغير داراي توزيع نرمال بوده ولي نمرات آنها فقط به صورت دو مقول ه اي (صفر و ي ك )
در دسترس باشد، با كدام روش همبستگي م ي توان ميزان ارتباط اين دو متغير را به درستي
سنجيد؟
1) تتراكوريك 2) رتبه اي 3) پيرسون 4) في
-5
2
3
قرار مي گيرند؟ (Z) از مساحت زير منحني نرمال در كدام دامنه نمرات استاندارد
(− 2 , 2) (1
3 3
(−1,1) (4 (−2,2) (3 (−3,3) (2
-6 خطاي طبق هبندي هنگامي بيشتر م يشود كه فاصله طبقات ............ و تعداد طبقات نيز ............ باشد.
1) زياد - كم 2) كم - زياد 3) زياد - زياد 4) كم - كم
-7 انحراف استاندارد بر كدام ويژگي يا شاخص توزيع فراواني تأثير دارد؟
1) كجي 2) نما 3) ميانگين 4) كشيدگي
حاصل مي شود؟ n1 + n2 − -8 در كدام آزمون آماري، مقدار درجه آزادي از طريق 2
1) مقايسه دو ميانگين همبسته 2) مقايسه دو ميانگين مستقل
3) مقايسه ميانگين با يك ارزش ثابت 4) آزمون آماري دو نسبت
تبديل كرده ايم. نمره Z -9 نمرات 30 دانش آموز را در دو درس تعيين و آنها را به نمر ه ي استاندارد
دانش آموزان در هر دو امتحان دقيقاً برابر شده است. ضريب همبستگي دو توزيع كدام است؟ Z
1) صفر
+0/50 (2
+1 (3
4) بدون داشتن نمرات و انجام محاسبه، تعيين آن ميسر نيست.
تست هاي علوم تربيتي 1 و 2 و روانشناسي سراسري 1388
جداول ضميمه
به نام یزدان پاک