سنجش و اندازه گیری

انواع مدل هاي تئوری سئوال پاسخ با توجه به تعداد پارامترها:
براي بيشتر کارهاي نظري که دربارة خواص سئوال هاي تستي و تست هاي حاصل از ترکيب اين سئوال ها انجام مي شود. يکي از دو مدل رياضي مورد استفاده قرار مي گيرد. هر دو مدل نتايج بسيار مشابهي بدست مي دهد. انتخاب هر کدام در بيشتر موارد بستگي به سادگي و سهولت استفاده از مطالب رياضي دارد که از بکار بردن آن حاصل مي شود. يکي از اين مدل ها اجايو نرمال يعني شکل تراکمي منحني نرمال است. مدل دوم تابعي است که تابع منطقي ناميده مي شود.
فردريک لرد يکي از کساني است که نقش مهمي در رشد و گسترش مدل هاي تئوری سئوال پاسخ و نظريه خصيصه مکنون داشته است. وي در سال 1952 مدل دو پارامتري اجايو نرمال را ارائه داد. مدل مزبور بصورت زير است:
 
در اين فرمول   مساوي با تابع چگالي نرمال. اين فرمول يا مدل را مي توان بصورت زير نيز نوشت:
 
تابع اجايو نرمال براي مدل هاي يک و سه پارامتري بصورت زير است:
مدل يک پارامتري               
 
مدل سه پارامتري      
 
کار با اين مدل ها بخاطر نياز به انتگرال گيري مشکل است. در حقيقت امروزه اين مدل ها فقط از جنبه تاريخي جالب هستند و مورد بررسي قرار مي گيرند. جهت تسهيل کارهاي محاسباتي و رياضي با اين مدل ها, متخصصين مدل هاي تابع منطقي را توسعه و گسترش داده اند. هر دو مدل نتايج بسيار مشابهي بدست مي دهد. در حقيقت اختلاف دو مدل منطقي و اجايو نرمال در حد يک عدد ثابت 7/1 است به قسمي که تقريباً براي همه Xها  |است (برن بام ,1968). اين بدان معناست که تابع توزيع تراکمي نرمال يا   با تابع توزيع تراکمي منطقي يا   در صورتي که تابع منطقي در عدد ثابت 7/1 ضرب شود در موقعيتهاي عملي اختلافي کمتر از 01/0 خواهد داشت. در همه مدل هاي سئوال- پاسخ پارامتر توانائي آزمودني برآورد مي شود, ليکن تعداد پارامترهائي که براي سئوالات برآورد مي گردد متفاوت است. لذا موجب تمايز مدل ها از يکديگر و ايجاد مدل هايي با تعداد پارامترهاي متفاوت شده است. به همين جهت براساس آنکه مدل يک,دو و يا سه پارامتر را براي هر سئوال در نظر بگيرد, مدل يک,دو يا سه پارامتري ناميده مي شود.
الف)مدل منطقي يک پارامتري- اين مدل توسط جرج راش, رياضي دان دانمارکي در اوائل دهه 1960 ارائه شد. سپس افراد ديگري چون پروفسور رايت واتسون در بسط و گسترش اين مدل تلاش فراوان نمودند. هرچند مي توان مدل منطقي تک پارامتري را حالت خاصي از مدل کلي تر سه پارامتري به حساب آورد. ليکن بايد بخاطر داشت که اين مدل مستقل از مدل هاي ديگر و در امتداد خطوط کاملاً متفاوتي رشد و توسعه يافته است(همبلتون, 1989). در اين مدل دو پارامتر برآورد مي شود: يکي توانائي آزمودنيها و ديگري پارامتر دشواري سئوالات. اين مدل به شکل زير نمايش داده مي شود:
 
(عدد نپرين 718/2 =e و 7/1=D)
مدل منطقي راش, مفروضات يکساني همانند مدل هاي دو وسه پارامتري دارد. با دقت در معادله بالا مي توان فهميد که در مدل راش دو مفروضة اضافي ديگر يکي مساوي بودن قدرت تشخيص سئوالات و ديگري عدم امکان حدس درست توسط آزمودني هاي ضعيف مطرح است. در حقيقت در اين مدل قدرت تشخيص سئوالات يکسان و معمولاً برابر يک فرض مي شود معناي ضمني و تلويحي فرض ديگر اين است که اين مدل براي سئوالات تشريحي يا کوته پاسخ و يا براي آزمون هايي که از لحاظ دشواري در حد توانائي آزمودني ها هستند و لذا امکان حدس در آنها وجود ندارد قابل کاربرد است . به سخن
ديگر در اين مدل سئوالات فقط از يک لحاظ متفاوت هستند. مفروضه هاي مزبور در شرايط زير کاملاً قابل توجيه خواهد بود:
1-    تمام سئوالات از لحاظ شکل و محتوا همگون باشد به گونه اي که همگي با يک نوع خصيصه مکنون مشترک ارتباط داشته باشد.
2-    سئوال ها با استفاده از يک فرم تجربي مقدماتي سرند شده باشد. به گونه اي که سئوال هاي مبهم و نارسا و ساير سئوال هايي که به هر دليل نامناسب بوده است از تست خارج شده باشد.
3-    سئوال ها بصورتي باشد که امتحان شونده دربارة آنها موظف به توليد پاسخ گردد (نه آنکه پاسخ درست را از ميان گزينه هاي معين برگزيند) تا درصد پاسخهاي درست مجانب آن براي اشخاصي که در خصيصه مکنون مرتبه بسيار پائيني دارند نزديک صفر باشد.
4-    سئوال ها منعکس کنندة رشد کلي مربوط به نوعي خصيصه باشد نه يک درس خاص (ثرندايک, 1982).
چون در الگوي منطقي راش مفروضات قويتري در مقايسه با مدل هاي دو يا سه پارامتري مطرح است بنابراين مطابقت دادن اين مدل با داده ها بطورکلي دشوارتر است. ليکن در صورت برقراري اين مفروضات, مدل به نتايج عملي مفيدي منجر مي شود و برآوردهاي خوبي از توانائي افراد و پارامتر دشواري سئوالات بدست مي دهد . شواهد و مدارکي وجود دارد که نشان مي دهد, مدل راش در برابر نقص ملايم مفروضات از مقاومت معقولي برخوردار است. حاميان و طرفداران اين مدل اظهار مي دارند حتي زماني که مدل با داده هاي تستي برازندگي ندارد, اين سئوالات هستند که بايد کنار گذاشته شوند و نه مدل (همبلتون, 1989).
گرچه اين مدل حالت خاصي از مدل هاي ديگر تئوری سئوال پاسخ است, ولي داراي يک سري ويژگيهاي خاصي است که آنرا براي استفاده کنندگان جذاب مي سازد. اولاً در اين مدل نياز به تعداد پارامتر کمتري است. ثانياً مشکلات برآورد پارامترها در اين مدل کمتر از مدل هاي ديگر است. در حقيقت, مهمترين دليل شهرت و جذابيت اين مدل, سادگي روشهاي برآورد پارامترها است. در اين مدل دو روش براي برآورد پارامترها بکار مي رود. روش اول که به روش تقريبي يا prox مشهور است توسط رايت واتسون در سال 1979 پيشنهاد شد. اين روش به برآورد تقريبي ارزشهاي مقياسي مي پردازد و حتي در مواردي که حجم نمونه کوچک است با دست و ماشينهاي محاسبه گر معمولي قابل برآورد است. اين برآوردها تا حدي تحت تاثير برآورد همزمان پارامترهاي نمره ها و سئوالات است. رايت در اين مورد پيشنهاد مي کند که از راه حل بيشينه احتمال به شيوة از سرگيري استفاده شود که بر پايه آن برآورد سئوال ها و هم نمره ها به تدريج

 تعديل مي شود تا موقعي که بصورت مجموعه اي از مقادير ثابت درآيد و بهترين برازندگي را به معناي بيشينه احتمال بدست دهد. البته در حالت اخير استفاده از کامپيوتر ضروري است و انجام دستي محاسبات بسيار پر زحمت و وقت گير خواهد بود (ثرندايک,1982). ويزگي سوم اين مدل به عينيت خاص آن مربوط است. اين ويژگي موجب مي شود تا بتوان حتي بدون برآورد پارامترهاي ساير سئوالات و افراد و تنها با داشتن برآورد دشواري دو سئوال يا توانائي دو شخص به مقايسه آن دو سئوال يا شخص پرداخت (همبلتون, 1989).
ب) مدل منطقي دو پارامتري- اين مدل توسط آلن برن بام در فاصله سالهاي 1957 تا 1968 ارائه و جايگزين مدل اجايو نرمال ارائه شده توسط لرد گرديد. معادله اين مدل جهت برآورد احتمال پاسخ درست به يک سئوال بصورت زير است:
 
در معادلات بالا,   احتمال پاسخ درست به سئوال i توسط آزمودني هايي است که در سطح معيني از توانايي قرار دارند. پارامترهاي  و   قبلاً معرفي شدند. D عامل مقياس پردازي است که توسط لرد, برن بام و ديگران پيشنهاد شده و هدف آن مطابق کردن تفسير پارامترهاي مدل منطقي با مدل اجايو نرمال است. نماد eبيانگر لگاريتم طبيعي و مقدار آن برابر 718/2 است. در اين مدل علاوه بر برآورد پارامتر توانائي آزمودني ها براي سئوالات دو پارامتر   و   برآورد مي گردد. به ديگر سخن در اين مدل سئوالات از دو جنبة درجه دشواري و قدرت تشخيص از تغييرپذيري برخوردارند. مجدداً خاطرنشان مي سازيم که در مدل دو پارامتري- خواه منطقي و خواه اجايو نرمال- امکان پاسخ درست از طريق حدس وجود ندارد و مقدار آن برابر صفر در نظر گرفته مي شود. اين امر به اين خاطر است که براي سئوالاتي با قدرت تشخيص بزرگتر از صفر   يعني سئوالاتي که بين عملکرد در سئوال و صفت مکنونن مورد سنجش رابطه مثبت وجود دارد احتمال پاسخ درست به سئوال همگام با کاهش توانائي تا حد صفر کاهش مي يابد.
ج)مدل منطقي سه پارامتري- اين مدل نيز همانند مدل دو پارامتري توسط برن بام ارائه شد و سپس توسط افراد ديگري چون لرد, ين, همبلتون و ... رشد و گسترش يافت. تفاوت اين مدل با مدل دو پارامتري تنها در عامل حدس يا پارامتر  است که به آن اضافه مي گردد. معادله رياضي اين مدل بصورت زير است:
 
ليکن مجدداً خاطرنشان مي سازيم که پارامتر  , بيانگر احتمال پاسخ درست براي آزمودني هائي است که در دامنه پائين پيوستار توانائي قرار دارند.
در اين مدل زماني که درجه دشواري سئوال با توانائي آزمودني يکسان است   احتمال پاسخ درست به سئوال 5/0 نيست بلکه مقدار اين احتمال برابر است با   که همچنانکه گفته شد,   مجانب پائيني منحني ويژگي سئوال است. در زمينة امتياز مدل سه پارامتري نسبت به مدل دو پارامتري در برآورد پارامترها بويژه توانائي بايد گفت که وقتي آزمودني علاوه بر توانائي خود, به اتکاء حدس و شانس صرف به پاسخگويي مي پردازد. اين امر موجب مي شود بطور شانسي و اتفاقي تعدادي از سئوالات را پاسخ درست بدهد و نمرة برآورد شدة آزمودني بطور غير واقعي و کاذب افزايش يابد. در حاليکه با استفاده از مدل سه پارامتري و برآورد پارامتر حدس براي سئوالات و دخالت ميزان آن در برآورد پارامتر توانائي موجب مي شود که برآورد دقيقتري از ميزان توانائي افراد بدست آيد اين نکته علي الخصوص براي آزمودني هاي ضعيف از اهميت بيشتري برخوردار است زيرا آنها تمايل بيشتري به حدس زدن دارند.
د) مدل منطقي چهار پارامتري- پاره اي از مواقع مشاهده مي شود که آزمودني هاي قوي به برخي از سئوالات آزمون- حتي به سئوالات خيلي ساده- پاسخ غلط مي دهند. اين امر ممکن است ناشي از بي دقتي آنها و يا وجود اطلاعاتي وراي آنچه که مورد نظر نويسندة سئوال بوده است, باشد. جهت حل اين مشکل برخي از متخصصان روانسنجی از جمله مک دونالد  1981 مدلي ارائه داده اند که در برآورد توانائي آزمودني ها اين عامل را در نظر مي گيرد و بنابراين به مدل منطقي چهار پارامتري شهرت يافته است. تابع احتمالي اين مدل جهت محاسبه احتمال پاسخ درست به سئوال توسط آزمودنيهائي که در سطح معيني از   قرار دارند بصورت زير است (همبلتون, 1989).
 
کليه نمادهاي مورد استفاده در اين تابع بجز   در مباحث قبلي معرفي شده اند. پارامتر چهارمي که با   نمايش داده مي شود نشان دهندة مجانب بالائي منحني ويژگي سئوال است و مقدار آن اندکي کمتر از يک است. اين مدل تنها از لحاظ نظري جالب و مورد علاقه است زيرا که پيشنهاد کنندگان اين مدل نتوانسته اند فوايد مترتب بر اين مدل را پيدا کنند.


ساير مدل هاي تئوري سؤال پاسخ
محدوديتي در تعداد مدل هائي که مي توانند در چهارچوب الگوي تئوری سئوال پاسخ بوجود آيند نيست. مدل هاي ذکر شده تک بعدي بودند اين مدل ها جهت سئوال پاسخهاي دو ارزشي استعداد و پيشرفت مناسب هستند و همانطور که ديديم هر يک از آنها يک مدل اجايونرمال دارد.
چند دسته از مدل هاي ديگر وجود دارند:
الف) مدل هاي تک بعدي منطقي که مربوط به پاسخ هاي چند ارزشي (ترتيبي, غير ترتيبي يا پيوسته) مي شوند (مدل هاي غير دو ارزشي).
ب) مدل هاي منطقي چند بعدي
ج) مدل هائي که به گروه هاي آزمودني ها (مثلاً دانش آموزان يک کلاس يا مدرسه) مي پردازند.
مدل هاي غير دو ارزشي
پاسخ به سئوالات يک آزمون را گاه در دو طبقة صحيح يا غلط مي توان جاي داد. در چنين مواردي مدل هاي دو ارزشي مثل 4 مورد ذکر شده کاربرد دارند. در صورتي که پاسخ به سئوالات آزمون بيش از دو ارزش (0و1) داشته باشد, با سئوالات چند ارزشي و مدل هاي غير دو ارزشي سر و کار داريم.
از جمله مهمترين اين مدل ها عبارتند از: مدل پاسخ اسمي, مدل پاسخ درجه بندي شده و مدل امتياز سهمي, مدل مقياس ترتيبي, مدل پاسخ پيوسته, در ادامه به طور اجمالي مروري بر اين مدل ها خواهيم داشت.
مدل هاي چند بعدي
يکي از مفروضه هاي اصلي و اساسي مدل هايي که تا اينجا مورد بحث قرار گرفتند, تک بعدي بودن آنهاست بنابراين اگر پاسخ به سئوال نيازمند به بيش از يک صفت باشد, نياز به مدلهاي ديگري داريم .
چنين وضعيتي ممکن است در يک موقعيت حل مسئله رياضي که در آن آزمودني بايد, اولاً قادر به خواندن و درک متن و ثانياً بايد توان فرمول بندي و حل جنبه هاي محاسباتي مسئله را داشته باشد. رخ دهد. اگر امتحان شونده بتواند به چنين سئوالي پاسخ درست بدهد, احتمالاً بيانگر اين مسئله است که فرد در هر دو توانائي مورد نظر در سطح بالائي قرار دارد ليکن پاسخ نادرست به اينگونه سئوالات مي تواند ناشي از ترکيبات سطوح توانائيش در هر دو صفت باشد, بنابراين عملکرد آزمودني در سئوالات چنين آزموني تحت تاثير جايگاه او در چند صفت مکنون است.

مدل هاي چند ارزشي تئوري سئوال پاسخ
تمام تعاملات آزمودني-سئوال را نمي توان توسط مدل هاي دو ارزشي به طور مناسبي مطرح نمود به طور مثال کسب اطلاعات از يک سئوال نوع ليکرت يا امتياز دادن به پاسخي که بخشي از آن صحيح است نياز به مدلي دارد که در برگيرندة بيش از دو طبقه باشد. به علاوه از آنجا که در سطوح مختلف توانائي توزيع پاسخهاي غلط در بين گزينه هاي سئوالات چند گزينه اي متفاوت است, مطلوب است از مدلي استفاده شود که بتواند اطلاعاتي را در مورد تمام گزينه ها ارائه کند يا اينکه از مدلي استفاده شود که فرض مي کند آزمودني يا پاسخ صحيح را مي داند و يا به طور تصادفي يک گزينة غلط را انتخاب مي کند. تئوری سئوال پاسخ داراي مجموعه اي از مدل هاست که در مورد اين داده هاي دو ارزشي به کار مي روند.
در ادامه مدل هاي چند ارزشي  را که از آنها نام برديم معرفي مي کنيم.
مدل پاسخ اسمي
آر- دارل باک 1972 يکي از اولين روان سنج هايي بود که کاربرد مدل تئوری سئوال پاسخ را به نحوي بسط داد تا جهت پاسخ هاي چند ارزشي قابل کاربرد باشد. مدل او به نام مدل پاسخ اسمي, با اين هدف ارائه شد که در وقت برآورد توانائي را با استفاده از آگاهي موجود در هر يک از پاسخها به حداکثر برساند (همبلتون, 1993).
مدل پاسخ اسمي فرض را بر اين قرار مي دهد که گزينه هاي پاسخ در سطح اسمي اندازه گيري هستند (يعني طبقات طبقه بندي نشدند), مثلاً دو گزينه آخر سئوال زير پاسخهايي را نشان مي دهند که ممکن است فردي با بکار بردن قواعد نادرست در تفريق اعداد علامت را ارائه نمايد:
4(3                               4- (2                            16- (1                          ؟=6 - (10)
از آنجا که گزينه هاي غلط بخشي از پاسخ صيحي نيستند استفاده از مدل هاي چند ارزشي ديگر نامناسب خواهد بود. طبق روش هاي قديمي براي نمره دادن به چنين سئوالاتي بايستي پاسخ هاي آزمودني ها را با روش دو ارزشي به صورت درست و نادرست درآوريم اما همانطور که تاتسوکا در تحليل اشتباهات دانش آموزان در انجام مسائل حساب دريافتند.
      «... پاسخهاي غلط بيشتر از يک نوع هستند, معذالک روش نمره گذاري فعلي به تمام پاسخهاي غلط نمره 0 مي دهد.»
از اين نظريه گزينه هاي غلط يک سئوال ممکن است با فراهم کردن اطلاعاتي در مورد سطوح درک آزمودني ها دقت برآورد توانائي آمودني ها را افزايش بدهد. وقتيکه گزينه هاي نادرست تابعي از يک قاعدة نادرست يا طبقه اي از قواعد نادرست باشد عملکرد را مي توان با يک مدلNR بررسي نمود, البته مدل پاسخ اسمي براي سئوالات از نوع دانش کاربرد دارد. (دي آيالا  ، 1993).
مدل پاسخ درجه بندي شدة سيم جما 1969 شکلي از مدل پاسخ اسمي است که در ادامه به آن مي پردازيم.
مدل پاسخ درجه بندي شده
سيم جما (1969) خانواده اي از مدل هاي خصيصه مکنون پاسخ درجه بندي شده را ابداع نمود که براي طبقات پاسخ چند ارزشي مرتب شده قابل کاربرد هستند. اين مدل ها را هم در موقعيت هايي که به آزمودني ها بر حسب صحت پاسخ نمره داده ميشود ( مثل غلط, تا حدي درست, درست) و يا زماني که نگرش ها و رغبت ها اندازه گيري مي شوند ( مثل مقياس ليکرت, خيلي موافق, موافق, بيطرف, مخالف, خيلي مخالف) بکار گرفت.
سيم جما در يک تک نگاره (1969) به معرفي مدل پاسخ درجه بندي شده مي پردازد و در برآورد خصيصه مکنون آزمودني از الگوي پاسخ استفاده مي نمايد. لازار سفلد (1959) در نظريه تحليل ساختار مکنون الگوهاي پاسخ ممکن براي سوالات دو ارزشي را مطالعه مي کند و لرد (1952) اطلاعات حاصل از برگه سوال آزمودني را با استفاده از نمرات آزمون خلاصه مي نمايد. به اين ترتيب براي n سوال دو ارزشي  الگوي پاسخ وجود دارد که توسط بردارهايي از اين قبيل ( 0و 0و 1و 1و 0و 0و 0) نشان داده مي شود.
در حاليکه اگر از تعداد پاسخ هاي صحيح بعنوان نمره آزمون استفاده نماييم, اين الگوهاي پاسخ را مي توانيم به n+1 طبقه نمره تقسيم کنيم.
سيم جما الگوي پاسخ را بنحوي بسط مي دهد که مواردي را که طبقات پاسخ بيش از دو طبقه بندي مي شوند نيز دربر بگيرد.
مدل هاي دو ارزشي با پاسخ درجه بندي شده در تئوری سئوال پاسخ فرض ميکنند که فضاي خصيصه تک بعدي است و يک عامل غالب وجود دارد براي پاسخهاي مرتب شده ماتريس ضرايب  همبستگي تحليل شده و برازندگي مدل هاي چند عاملي مقايسه مي شود. همچنين فرض مي شود سوالات طوري هستند که آزمودني اجازه دارد به هر سوال آزادانه پاسخ دهد و مفروضه استقلال موضعي نيز برقرار است.
مفهوم اساسي در مدل هاي سوال _ پاسخ چند ارزشي شاخص عملکرد است. شاخص عملکرد بيانگر اين است که چگونه احتمال پاسخ طبقه اي, طبق قوانين احتمالات و فرضيات روان شناختي تعيين مي شود(موراکي ، 1990).
سيم جما تعريف جامعي از اين مفهوم ارائه مي دهد:
اگرg و n نشان دهنده يک سوال   ,   يا   و يک پاسخ خاص به سوال g, n يا j باشد. منظور ما از الگوي پاسخ که توسط   يا  نشان داده مي شود, يک بردار است که براي n سوال به اين شکل نمايش داده مي شود.
 
اين الگو يک سري پاسخ متوالي به سوالات است که يک آزمودني ارائه نموده است. در مورد سوال هاي پاسخ آزاد که هر سوال مي تواند تعداد نامحدودي پاسخ متفاوت داشته باشد و لذا يک پرسشنامه مي تواند الگوهاي پاسخ تقريبا نامحدودي داشته باشد, در فرايند تحليل داده ها بهتر است که اين تعداد نامحدود الگوهاي پاسخ احتمالي به يک سوال و طبق يک ملاک طبقه بندي نماييم. زماني که پاسخ به سوال g را مي توان در حوزه سنجش توانايي بر حسب درجه رسيدن به راه حل مسئله و در حوزه سنجش نگرش بر حسب ميزان موفقيت با يک عبارت درجه بندي نمود. تمام پاسخهاي ممکن سوال g را مي توان در تعداد محدودي از طبقات که بر حسب ميزان موفقيت يا درجه موافقت درجه بندي شده اند جاي داد.
اين طبقات را نمره سوال g ناميده و با   نشان مي دهيم. مقادير احتمالي   نمرات متوالي از 0 تا   هستند که بر حسب ميزان موفقيت در رسيدن به هدف درجه بندي شده اند. در چنين موردي الگوي پاسخ نمرات متوالي است که به اين شکل نشان داده مي شود.
 
که آنرا الگوي پاسخ ناميده و با   v نشان مي دهيم.
اين پاسخ هاي خاص از جانب آزمودني که مي تواند در هر نقطه اي از پيوستار خصيصه مکنون باشد با احتمالات متفاوتي ارائه مي شود. منظور از شاخص عملکرد سوال پاسخ, احتمال يک پاسخ خاص,  است که بعنوان تابعي از متغير مکنون   نشان داده مي شود. علامت   يا  نشاندهنده شاخص عملکرد سوال خاص   است, به اين ترتيب خواهيم داشت:
 Pr{
پس براي يک الگوي پاسخ خاص V مي توان تعداد n شاخص عملکرد سوال پاسخ که به عنوان تابعي از   است اختصاص داد. اين توابع مي توانند بر حسب   همنوا صعودي يا نزولي, تک نمايي يا يا چند نمايي يا هر شکلي باشد.
شاخص عملکرد را بعنوان احتمال يک الگوي پاسخ خاص   که بعنوان تابعي از  نشان داده شده تعريف مي کنيم.   نشاندهنده شاخص عملکرد الگوي پاسخ  است. به اين ترتيب داريم:
 Pr{
و طبق اصل استقلال موضعي مي توان گفت:
 
در مواردي که پاسخ به سوالg به روشي که پيشتر توضيح داديم, طبقه بندي مي شود, مي توانيم به هر يک از طبقات  يک شاخص عملکرد اختصاص بدهيم. که شاخص عملکرد پاسخ درجه بندي شده   مي ناميم و با   و يا   نشان مي دهيم. در اين مورد خواهيم داشت:
 
 
 =
وقتي تمام سوالات به طور دوارزشي نمره گذاري مي شوند مانند سنجش استعداد يا پيشرفت,  واحد است و الگوي پاسخ حاصل زنجيره اي از 0 و 1 است. در چنين موردي   آن چيزي است که تابع ويژگي سؤال ناميده مي شود. در اين مورد بخصوص  را با  و  را با  نشان مي دهيم.
در صورتيکه تمام الگوهاي پاسخ به n سؤال  در تعداد محدودي از طبقات, دسته بندي شوند, در آن صورت  شاخص عملکرد سؤال براي  طبقه است که به اين شکل ارائه مي شود:
 
يک مثال از چنين طبقه بندي نمره کل يک آزمون است. اين معادله در مورد تمام اصول طبقه بندي صدق مي کنند. گفتيم که در زمان استفاده از سؤالات دوارزشي الگوي پاسخ يک رشته متوالي از درست, غلط يا بلي, خير و ... خواهد بود. اما زماني که توانايي سنجش نياز به تفکر و استدلال داشته باشد و مراحل پاسخگويي پيچيده باشد. در چنين موردي اگر زمان محدود باشد ممکن است ازمودني به سؤالاتي پاسخ ندهد که چه بسا آن سؤالات آگاهي بيشتري در مورد ولي به ما بدهند. در چنين مواقعي اگر پاسخ آزمودني ها را در طبقات بيشتري طبقه بندي کنيم بدون اينکه نياز به تغيير سؤالات باشد ميتوانيم اگاهي بيشتري در مورد آزمودني بدست بياوريم.
در صورتيکه آزمودني مسئله را با موفقيت حل کند استعداد او کامل تلقي شده و در صورت عدم موفقيت استدلال او به درجات مختلفي نقص دارد . پس پاسخ را بر حسب ميزان دستيابي به هدف نمره گذاري مي کنيم.
گاهي مراحل تفکر همگن و گاهي ممکن است ناهمگن باشند. يعني حل يک مسئله مراحل فرعي متفاوتي را ايجاب مي کند. در مورد همگن نشان دادن شاخص عملکرد ساده تر است ولي در مورد ناهمگن به علت داشتن ضرايب تشخيص متفاوت پيچيده تر است. در اين بحث ما به مورد همگن مي پردازيم.
همانطور که قبلاً گفتيم وقتي پاسخ سؤالg  به  طبقه از 0 تا  تقسيم شود الگوهاي پاسخ حاصل رشته اي از اعداد هستند, چنين پاسخي را « پاسخ درجه بندي شده» و سؤالات که تمام پاسخهاي آن به اين شکل نمره گذاري شده اند را « سؤال درجه بندي شده» مي ناميم( سيم جما 1969).
به سادگي مي توان استنباط کرد هر پاسخ درجه بندي شده اي را مي توان به يک سؤال دوارزشي تقليل داد. به اين ترتيب که يک سؤال درجه بندي شده را مجدداً به شکلي درجه بندي مي کنيم که  برابر صفر و نمرات بيشتر يا برابر با  , يک در نظر گرفته مي شوند. از آنجا که براي يک سؤال درجه بندي شده به تعداد  آستانه طبقه وجود دارد مي توانيم به تعداد   مجموعه  و   بدست آوريم.
  نشاندهنده مقدار  بدست آمده براي آستانه طبقه  است که از طريق معادله شاخص عملکرد زير:
 
بدست آمده و از 1 تا  متغير است. خاطر نشان مي کنيم که اين مقادير  را مي توانيم بعنوان مجموعه اي از تابع هاي ويژگي سؤال در نظر گرفت که همان مقادير ضريب تشخيص را دارند اما مقادير دشواري انها متفاوت است به اين ترتيب  و  براي  را به اين شکل تعريف مي کنيم.
                                     و                              
براي يک پاسخ درجه بندي شده  مي توان نوشت
 
اين معادله فرمول اصلي شاخص عملکرد پاسخ درجه بندي شده در زماني است که مراحل تفکر همگن است.
در سنجش نگرش اين مدل در موقعيتي قابل کاربرد است که ميزان تمايل مثبت آزمودني به يک عبارت بررسي مي شود. در اين رابطه ميزان عقيده مثبت ممکن است به طور پيوسته تغيير کند که به صورت گسسته بيان مي شود.( سيم جما 1969)
در ادامه به معرفي مدل ناپارامتريک تئوري سئوال پاسخ  پرداخته مي شود تا با مزايا و محدوديت هاي اين مدل آشنا تر شويم .